23명만 모여도 생일이 겹칠 확률이 50%인 이유

직관이 틀리는 지점

23명이 모인 자리에서 생일이 같은 두 사람이 있을 확률을 물으면 대부분 23 ÷ 365, 약 6% 정도를 떠올립니다. 실제 답은 약 50.7%입니다.

직관이 틀리는 이유는 “나와 같은 생일”을 생각하기 때문입니다. 문제는 “아무나 두 사람”입니다. 23명이면 두 사람을 고르는 방법이 23C2 = 253쌍이나 됩니다. 비교할 쌍이 365의 3분의 2를 넘는 셈입니다.

계산 방법

모두 생일이 다를 확률을 먼저 구합니다. 첫 사람은 아무 날이나 괜찮고, 두 번째 사람은 364/365, 세 번째는 363/365의 확률로 앞사람들과 겹치지 않습니다. 이것을 모두 곱한 값이 “모두 다를 확률”입니다.

23명까지 곱하면 약 0.493이 되고, 1에서 빼면 겹칠 확률 약 0.507이 나옵니다.

같은 원리가 쓰이는 곳

컴퓨터에서 데이터를 짧은 값으로 요약하는 해시 함수는 서로 다른 데이터가 같은 값을 가지는 충돌을 피해야 합니다. 생일 문제에 따르면 가능한 값이 N개일 때 대략 √N개 정도만 만들어도 충돌 가능성이 커집니다. 그래서 보안용 해시는 값의 길이를 충분히 길게 설계합니다.

쿠폰 번호나 추첨 번호를 무작위로 발급할 때도 같습니다. 4자리 번호(10,000개)를 무작위로 120개만 발급해도 중복이 생길 확률이 50%를 넘습니다.

자주 묻는 질문