몬티 홀 문제, 바꾸면 왜 2/3일까

문제 정리

문 세 개 중 하나 뒤에 자동차가, 나머지 두 개 뒤에 염소가 있습니다. 참가자가 문 하나를 고르면, 정답을 아는 진행자가 남은 두 문 중 염소가 있는 문 하나를 열어 보여줍니다. 그리고 “선택을 바꾸겠습니까?”라고 묻습니다.

남은 문이 두 개이니 반반이라고 생각하기 쉽지만, 선택을 바꾸면 이길 확률은 2/3, 유지하면 1/3입니다.

경우를 나눠 보면

처음 고른 문이 자동차일 확률은 1/3입니다. 이때 바꾸면 집니다.

처음 고른 문이 염소일 확률은 2/3입니다. 이때 진행자는 남은 염소 문을 열 수밖에 없고, 남은 하나의 닫힌 문이 반드시 자동차입니다. 바꾸면 이깁니다.

결국 “바꾸기”는 “처음에 틀렸을 확률”만큼 이기고, 그 값이 2/3입니다.

문이 100개라면

문 100개 중 하나를 고른 뒤, 진행자가 정답을 피해 나머지 98개를 모두 열고 문 하나만 남겼다고 생각해 보세요. 처음 고른 문이 맞을 확률은 여전히 1/100이고, 진행자가 일부러 남겨 둔 그 문이 정답일 확률은 99/100입니다. 이렇게 보면 바꾸는 쪽이 압도적으로 유리하다는 것이 직관적으로 보입니다.

진행자 규칙이 핵심인 이유

이 결론은 진행자가 정답을 알고, 반드시 염소 문만 연다는 규칙에서 나옵니다. 진행자가 아무 문이나 무작위로 열었는데 우연히 염소였다면, 그 상황에서는 바꾸든 유지하든 1/2이 됩니다.

같은 장면이라도 정보가 어떤 규칙으로 주어졌는지에 따라 확률이 달라진다는 점이 조건부 확률의 핵심입니다.

자주 묻는 질문